Есть несколько способов получить правильный ответ. Самый "тупой" - непосредственное применение теоремы Байеса. Пусть ОР - выпала монетка с орлом и решкой. Орел лежит снизу, если выпала монетка ОР, так? Тогда, как завещал мудрый Байес,
P(ОР, если решка сверху) = P(решка сверху, если ОР)*P(ОР)/P(решка сверху) = 1/2*1/3/(1/2) = 1/3
Угу. Ну, нам, гуманитариям, теоремы байесов неизвестны. Мы по-простому, по старинке - не уравнения используем, а мозги :-)
То есть я подумала минуты две и поняла, что решек там три, соответственно, есть три стороны, у которых имеется шанс получить решку с обратной стороны: орел, одна решка и вторая решка. Ну и 1/3, соответственно.
Это правильное рассуждение, которое на самом деле эквивалентно рассуждению по теореме Байеса.
Разница тут как между арифметическими решениями задачек в старых учебниках и более современными методами с уравнениями и неизвестными. Да, подобные трюки основаны на "использовании мозгов", но когда нужно получать быстро надежные решения, "автоматические" методы вроде алгебры и т.д. оказываются полезнее. А мозги тоже используются, - но в другом месте.
Дык, мы люди неученые, последнее уравнение в 10-м классе решали :-) Я и таблицу умножения выше 7 не очень помню, тоже приходится мозги использовать (ужас-ужас!). Поэтому меня радует, что, вопреки мнению многих окружающих технарей, знание уравнений и теорем - отдельно, а правильная работа мозгов - отдельно.
Кидается одна монета из трех. Выпала решка. Осталось сделать выбор из двух монет ОР и РР. Вероятность 1/2, поскольку исходов два, а удовлетворяет из них один. Если хотите математически, то испоьзуем ту же теорему в исходной записи: P( ор | р ) = P( ор ∩ р)/( P( ор ∩ р ) + P( рр ∩ р ) + P( оо ∩ р )). Но P( Aоо ∩ р) = 0, а остальные 2 равны. Опять же получаем 1/2.
Хорошо, у меня в кулаках две монеты: ОР и РР. Какова вероятность выбрать одну из них? 8) ЗЫ: В три, поскольку 4 исхода. Вероятность Орла - 1/4, решки - 3/4 xпри таком босании.
Ладно, давайте я объясню Вам, в чем секрет, и в чем разница между этой задачкой и монетками в кулаке.
Вспомним, что вероятность можно истолковать, как долю случаев, когда получается нужный исход, так? Но как поставить эксперимент, чтобы он соответствовал задаче? Давайте так: бросаем случайно одну монетку. Если вверху орел, мы объявляем эксперимент неудачным и бросаем ещё раз. Если вверху решка, мы добавляем единичку в количество экспериментов и смотрим, что с другой стороны. Если там орел, добавляем единичку в количество орлов. После многих экспериментов делим количество орлов на количество удачных экспериментов. Пока все верно?
Теперь смотрите. Если упала монетка ОО, эксперимент всегда неудачен. Забыли про нее. Если упала монетка РР, эксперимент всегда удачен. А если ОР, то в половине случаев мы эксперимент отбрасываем, а в половине берем. В итоге среди удачных экспериментов у нас ВСЕ, где выпадала РР, и ПОЛОВИНА тех, где выпадала ОР. Поэтому в выборке удачных экспериментов РР представлена в два раза больше.
Вот тут-то у всех и прокол. Под этой решкой может лежать либо орел, либо решка, либо ДРУГАЯ решка. Мы не знаем, какая именно решка лежит сверху - одна, или другая :-)
Я вчера своему папе - учителю математеки - это полчаса объясняла. Меня поражает, почему это для кого-то интуитивно, для кого-то совсем нет. Я папе предложила представить, что решки все покрашены в разные цвета - одна монета красная/желтая, другая орел/зеленая. Так стало понятнее. Если выпала решка, это может быть либо красная, либо желтая, либо зеленая решка. Но поскольку наши решки не покрашены, мы не знаем, какая из желтой и красной решки перед нами лежит. :)
Сказал, потом почитал объяснение Сколар Вита, понял, что недопонял условие: пропустил момент случайного падения одной из трех монет. А ведь наверняка уже поздно учиться думать до того как говорить :(
Я сразу посчитал 1/3, и решил "ну, ясно же что задача с подковыркой..." и начал искать подвох. Искал минут 5, запутался и полез смотреть комменты в этом посте. P.S.Теперь не могу отделаться от ощущения [очевидно, неверного], что здесь присутствует какой-то хитрый подвох:]
есть 3 монеты с такими сторонами: монета1: орел-орел монета2: орел-орел монета3: орел-решка. Одна из монет падает на стол решкой вверх. Какая вероятность, что она лежит орлом вниз?
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
no subject
Date: 2011-10-09 07:57 pm (UTC)no subject
Date: 2011-10-09 08:20 pm (UTC)no subject
Date: 2011-10-09 08:38 pm (UTC)P(ОР, если решка сверху) = P(решка сверху, если ОР)*P(ОР)/P(решка сверху) = 1/2*1/3/(1/2) = 1/3
no subject
Date: 2011-10-09 09:14 pm (UTC)То есть я подумала минуты две и поняла, что решек там три, соответственно, есть три стороны, у которых имеется шанс получить решку с обратной стороны: орел, одна решка и вторая решка. Ну и 1/3, соответственно.
no subject
Date: 2011-10-09 09:18 pm (UTC)Разница тут как между арифметическими решениями задачек в старых учебниках и более современными методами с уравнениями и неизвестными. Да, подобные трюки основаны на "использовании мозгов", но когда нужно получать быстро надежные решения, "автоматические" методы вроде алгебры и т.д. оказываются полезнее. А мозги тоже используются, - но в другом месте.
no subject
Date: 2011-10-09 09:32 pm (UTC)Я и таблицу умножения выше 7 не очень помню, тоже приходится мозги использовать (ужас-ужас!). Поэтому меня радует, что, вопреки мнению многих окружающих технарей, знание уравнений и теорем - отдельно, а правильная работа мозгов - отдельно.
no subject
Date: 2011-10-10 08:35 am (UTC)no subject
Date: 2011-10-10 03:29 pm (UTC)Кстати, предположим, что монет только две: РР и ОР. Вы видите решку. Какова вероятность орла под ней?
Ответ: 1/2*1/2:(1/2+1/2*1/2) = 1/3.
no subject
Date: 2011-10-10 03:49 pm (UTC)Если хотите математически, то испоьзуем ту же теорему в исходной записи:
P( ор | р ) = P( ор ∩ р)/( P( ор ∩ р ) + P( рр ∩ р ) + P( оо ∩ р )). Но P( Aоо ∩ р) = 0, а остальные 2 равны. Опять же получаем 1/2.
no subject
Date: 2011-10-10 04:08 pm (UTC)P( ор ∩ р ) = 1/2*1/2 = 1/4
P( рр ∩ р ) = 1/2*1 = 1/2
P( оо ∩ р ) = 0
Отсюда: P( ор | р ) = 1/4:(1/4+1/2) = 1/3
no subject
Date: 2011-10-10 04:35 pm (UTC)no subject
Date: 2011-10-10 04:18 pm (UTC)Но ведь очевидно, что из этих двух монет, если мы будем их бросать, решка будет выпадать чаще, правильно?
no subject
Date: 2011-10-10 04:27 pm (UTC)no subject
Date: 2011-10-10 04:29 pm (UTC)ЗЫ: В три, поскольку 4 исхода. Вероятность Орла - 1/4, решки - 3/4 xпри таком босании.
no subject
Date: 2011-10-10 04:39 pm (UTC)Вспомним, что вероятность можно истолковать, как долю случаев, когда получается нужный исход, так? Но как поставить эксперимент, чтобы он соответствовал задаче? Давайте так: бросаем случайно одну монетку. Если вверху орел, мы объявляем эксперимент неудачным и бросаем ещё раз. Если вверху решка, мы добавляем единичку в количество экспериментов и смотрим, что с другой стороны. Если там орел, добавляем единичку в количество орлов. После многих экспериментов делим количество орлов на количество удачных экспериментов. Пока все верно?
Теперь смотрите. Если упала монетка ОО, эксперимент всегда неудачен. Забыли про нее. Если упала монетка РР, эксперимент всегда удачен. А если ОР, то в половине случаев мы эксперимент отбрасываем, а в половине берем. В итоге среди удачных экспериментов у нас ВСЕ, где выпадала РР, и ПОЛОВИНА тех, где выпадала ОР. Поэтому в выборке удачных экспериментов РР представлена в два раза больше.
no subject
Date: 2011-10-10 04:43 pm (UTC)Решек три, орел - один.
no subject
Date: 2011-10-10 07:01 pm (UTC)no subject
Date: 2011-10-10 04:28 pm (UTC)no subject
Date: 2011-10-10 06:42 pm (UTC)no subject
Date: 2011-10-10 07:00 pm (UTC)no subject
Date: 2011-10-10 07:01 pm (UTC)Я папе предложила представить, что решки все покрашены в разные цвета - одна монета красная/желтая, другая орел/зеленая.
Так стало понятнее. Если выпала решка, это может быть либо красная, либо желтая, либо зеленая решка. Но поскольку наши решки не покрашены, мы не знаем, какая из желтой и красной решки перед нами лежит. :)
1/2
Date: 2011-10-09 10:39 pm (UTC)или нет
Date: 2011-10-09 10:45 pm (UTC)no subject
Date: 2011-10-10 02:27 am (UTC)no subject
Date: 2011-10-10 02:34 am (UTC)no subject
Date: 2011-10-10 02:43 am (UTC)no subject
Date: 2011-10-10 06:28 pm (UTC)P.S.Теперь не могу отделаться от ощущения [очевидно, неверного], что здесь присутствует какой-то хитрый подвох:]
no subject
Date: 2011-10-10 08:20 am (UTC)монета1: орел-орел
монета2: орел-орел
монета3: орел-решка.
Одна из монет падает на стол решкой вверх. Какая вероятность, что она лежит орлом вниз?
no subject
Date: 2011-10-10 03:58 pm (UTC)no subject
Date: 2011-10-10 08:32 am (UTC)no subject
Date: 2011-10-10 09:26 am (UTC)